Topologie – Polyeder - Dimension

Verantwortlich

Fachgruppe Mathematik

Zielgruppen

Schülerinnern und Schüler der Klassen 11-12

Gruppengröße

max 12 Schüler

Themen

Polyedrische Geometrie, Packungsprobleme, höhere Dimensionen

Dauer

4 h

Ort

Hochschule Mittweida

Nach oben

Was ist eigentlich Dimension? Wie kann man sich einen vierdimensionalen Raum vorstellen und was soll eine gebrochene Dimension sein? Wir werden uns diesem Thema spielerisch, aber auch durch moderne Mathematik nähern.
Eine erste Möglichkeit, die Dimension zu definieren, liefert uns ein Vektorraum. Wir werden sehen, dass man auch mit n-dimensionalen Vektorräumen für n≥4 gut arbeiten kann. Dabei ist auch n=∞ möglich und schon erhalten wir einen unendlichdimensionalen Vektorraum. Das klingt merkwürdig, hat aber erstaunlich viele Anwendungen in der modernen Mathematik und Physik.
Eine weitere Form der Festlegung einer Dimension geht auf den deutschen Mathematiker Felix Hausdorff zurück. Diese Dimension kann auch gebrochene Werte annehmen. Wir werden geometrische  Objekte – sogenannte Fraktale --  mit der Dimension 1,26 oder auch 1,58 kennenlernen. Eine interessante Frage ist hierbei die Messung von Längen, Flächen oder Volumina.
Eine noch abstraktere Form der Beschreibung geometrischer Objekte liefert die Topologie – eine Art Geometrie ohne Längen und Winkel. Das hier oben dargestellte Bild kann als eine abstraktere Darstellung eines vierdimensionalen Würfels, aber auch als ein Verband (in der Ordnungstheorie) oder als ein simplizialer Komplex (in der Topologie) betrachtet werden. Wir werden weitere interessante Darstellungen höherdimensionaler Objekte finden und sehen, welche Informationen man daraus erhält. Das einfache Polynom 〖(2+x)〗^d gestattet uns die Anzahl der Ecken, Kanten, Seitenflächen und dreidimensionalen Seitenwürfel eines d-dimensionalen Würfels zu berechnen.
Wir werden Modelle mehrdimensionaler Polyeder bauen und beobachten, wie hilfreich etwas Mathematik bei der Lösung scheinbar schwieriger Knobel- und Denkspielzeuge sein kann.